Балку с какими размерами нужно выпилить из бревна (кругляка), чтобы она имела максимальную прочность?0

Друзья, я люблю точные науки и математика тому не исключение. Я два года веду свой блог и периодически публикую статьи, где с помощью прикладной математики и геометрии решаются различные бытовые трудности, если вам будет интересно, вот пятерка наиболее популярных статей, они доступны по ссылкам:

1. Как с помощью обычного угольника быстро размечать любые углы: 10°, 20°, 30°, 40° и т.д.

2. Зная тригонометрию, вам не придётся скакать по крыше с рулеткой

3. Существует ОДНА универсальная формула для вычисления площади и объема

4. Как измерить ширину реки с берега не переплывая?

5. Три классных способа узнать высоту объекта с земли, не забираясь наверх

Недаром математику называют царицей наук! С помощью нее доказываются и вычисляются очень многие вещи и размеры балки, которая будет иметь наибольшую прочность, не исключение.

Балка — это один из основных элементов любой строительной конструкции и прочность её напрямую зависит от того, какое поперечное сечение лежит в её основе.

Из физики мы знаем, что прочность прямоугольной однородной балки зависит от ее длины, ширины, высоты и материала, из которого она изготовлена (дерево, сталь и пр.). Так вот, прочность подобных балок вычисляется по формуле: k*a*h², где:

k — коэффициент, который зависит от длины и от материала;

a — ширина балки;

h — высота балки.

Наша задача сводится к следующему:

Пусть мы имеем бревно с радиусом R. Каковы должны быть размеры и сечение балки, выпиленной из этого бревна, чтобы балка имела наибольшую прочность и могла держать максимальную нагрузку?

Ниже будут расчеты, которые мы проходили в школе, но в силу узкого круга применения мат.анализа, 99% людей их забыли, поэтому возможно они кому-либо покажутся сложны. Если вы не хотите в них вникать, можно сразу переместиться в конец статьи к разделу "ИТОГИ".

Вычисление

Балку с какими размерами нужно выпилить из бревна (кругляка), чтобы она имела максимальную прочность?1

Конечно же, каждое бревно имеет разный диаметр, поэтому в данной статье, я предлагаю рассчитать как стороны нашей балки в зависимости от диаметра, так и соотношение высоты к ширине бруса и получить универсальное значение, применимое ко всем балкам.

Итак, на рисунке выше изображен треугольник АВС и его катет АС, являющийся высотой балки, по теореме Пифагора будет равен:

АС² = АВ² — ВС², отсюда АС = √(4r²-X²).

Подставив это значение в сопроматовскую формулу прочности прямоугольной балки k*a*h², получим:

k*Х*(4r²-X²)

Теперь, раскроем скобки: k*Х*(4r²-X²) = 4*r²*k*Х — k*Х³ и для наглядности построим на координатной сетке для этой «прочностной» функции график. Для построения графика я использовал известный интернет-сервис для студентов, привожу скриншот:

Балку с какими размерами нужно выпилить из бревна (кругляка), чтобы она имела максимальную прочность?2

Далее, чтобы из функции прочности определить искомую оптимальную ширину балки Хмах (проекцию самой высокой точки на ось абсцисс), нам нужно найти производную от этой функции, которая характеризует предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента.

Производная функции y = 4*r²*k*Х — k*Х³ равна: 4r²*k — 3k*Х², теперь найдем значения Х, при которых производная обращается в ноль. Перенеся Х влево, а остальные значения вправо, я получил два значения икса, которые равны:

Х = ± 2r*√3 / 3, а так как ширина балки всегда положительная, то решение со знаком минус не использую.

В итоге мы получили, что у балки, вырезанной из бревна с радиусом R, оптимальная ширина должна составлять 2r*√3/3 (проекция пика графика на ось Х), теперь подставим эту ширину в ту самую формулу, где мы по теореме Пифагора выражали высоту. Итак, АС или h = √(4r²-X²). Подставляя вместо Х полученное значение, получим:

h = √(4r²-(2r*√3/3)²) = 2r*√6/3

Итоги

Как вы видите, ширина балки у нас равна 2r*√3/3, а высота ее 2r*√6/3. Таким образом, измерив диаметр бревна, вы легко найдете стороны самой надежной балки, которая могла бы получиться из этого кругляка.

Приведем всё к нормальному человеческому виду и вычислим соотношение.

Отношение высоты к ширине равно (2r*√6/3) : (2r*√3/3) = √2 = 1,41 или в виде простой дроби это выглядит так: 7/5.

Балку с какими размерами нужно выпилить из бревна (кругляка), чтобы она имела максимальную прочность?3

Данное вычисление говорит о том, что ОПТИМАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНОЙ БАЛКИ из ствола дерева РАВНО 7:5.

Спасибо Вам за внимание и прошу прощения за сложные расчеты!

Вам может понравиться

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.